Пусть дано бюджетное ограничение
PXX + PYY (4.19)
и функции спроса на товары X и Y
X = DX(PX,PY,I)
Y = DX(PX,PY,I)
Y = DX(PX,PY,I)
Дифференцируя (4.19) по доходу I, получим
PX(dX/dI) + PY(dY/dI) (4.20)
Умножим первое слагаемое левой части (4.20) на единицу (1 = X/I ∙ I/X), а второе на 1 = Y/I ∙ I/Y и преобразуем результат к виду
(PXX/I) ∙ (dX/dI) ∙ (I/X) + (PYY/I) ∙ (dY/dI) ∙ (I/Y) (4.21)
Мы можем интерпретировать сомножители PXX/I и PYY/I в правой части (4.21) как удельные веса (в долях единицы) расходов на покупку соответственно товаров X и Y в общих расходах потребителя I.
hX = PXX/I, hY = PYY/I. (4.22)
Очевидно, что
(dX/dI) ∙ (I/X) = eI,X, (dY/dI) ∙ (I/Y) = eI,Y. (4.23)
Подставляя (4.22) и (4.23) в (4.21), получим
hXeI,X + dYeI.Y = 1. (4.24)
Это означает, что взвешенная сумма коэффициентов эластичности спроса по доходу для всех покупаемых товаров равна единице. Это справедливо для любого числа товаров. Отсюда следует еще один важный вывод. Для каждого товара (или товарной группы) с эластичностью спроса по доходу, меньшей единицы, должен существовать товар (или товарная группа) с эластичностью спроса по доходу, большей единицы. Это положение и называют обычно законом Энгеля.
Приведем еще одно важное соотношение: сумма коэффициентов прямой и перекрестной эластичности спроса по цене и коэффициента эластичности спроса по доходу для i-того товара равна нулю.
Действительно, из раздела 3.3 следует, что при пропорциональном изменении всех цен и дохода, положение бюджетной линии и, следовательно, оптимума потребителя (рис. 3.9) не изменится. Значит, полный дифференциал функции спроса на товар X будет равен нулю:
dX = (dX/dPX)dPX + (dY/dPY)dPY + (dI/dPI)dPI = 0.
Если цены и доходы изменились в (1 + e) раз, то dPX = ePX, dPY = ePY, dPI = ePI. Подставив эти значения в выражение полного дифференциала, сократив на t и разделив все члены на X, получим
(dX/dPX) ∙ (PX/X) + (dX/dPY) ∙ (PY/X) + (dX/dI) ∙ (I/X) = 0
или, в коэффициентах эластичности,
eX + eX,Y + eX,I = 0 (4.25)
