economicus.ru

Гальперин В. М., Игнатьев С. М., Моргунов В. И.
Микроэкономика
В 2-х томах. Институт "Экономическая школа", Санкт-Петербург, 2004.

Приложение 8А
СРЕДНИЕ ЗАТРАТЫ КАК СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
Понятие средних затрат и их взаимосвязь с предельными нуждаются в дополнительном обсуждении. Важно прежде всего понять, что средние затраты вовсе не являются некой средней из ряда независимых случайных величин. Если средние затраты при выпуске 100 единиц продукции составляют 1000 руб., то это совсем не значит, что одна ее единица обходится, скажем, в 800, другая в 1200 руб. и т.п. В действительности, когда мы говорим о средних затратах, мы имеем в виду среднее значение функции затрат от объема выпуска.
Если какая-либо функция f(x) непрерывна и дифференцируема в замкнутом промежутке (а, b), то, согласно теореме Лагранжа, среднее ее значение в этом промежутке равно значению производной f'(x) в некоторой точке x, лежащей внутри данного промежутка:
[f(b) - f(a)]/(b - a) = f(x▓).        (8А.1)
Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что левая часть (8А.1) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) кривой у = f(x), a правая часть есть угловой коэффициент касательной к той же кривой в точке С (x, f(x)). Теорема Лагранжа о среднем значении функции утверждает, что на кривой у = f(x) между точками А и В всегда найдется такая точка С, касательная к которой параллельна секущей АВ (рис. 8А.1).
Используем теперь теорему Лагранжа для определения средних переменных затрат. На основании (8А.1) мы можем утверждать, что средние переменные затраты при выпуске Qi, т.е. в интервале (Q0,Qi), равны предельным затратам при некотором неопределенном объеме выпуска Qx, причем Q0QxQ1, т. e.
AVC(Q0,Qi) = [VC(Qi) - VC(Q0)]/(Qi - Q0) = VC▓(Qx) = MC(Qx),    (8A.2)
при этом QxQi. Как явствует из рис. 8А.2,
AVC(Q1) = MC(Q▓x)  Q▓x < Q1  (OA||KK),
AVC(Q2) = MC(Q▓▓x)  Q▓▓x < Q2  (OB||K▓K▓),     (8A.3)
AVC(Q*) = MC(Q▓▓▓x)  Q▓▓▓x = Q*.
К тем же выводам можно прийти и на основе формулы конечных приращений:
VC(Q0 + DQ) - VC(Q0) = VC▓(Qx)DQ,     (8А.4)
или на основе теоремы о среднем интегрального исчисления, согласно которой определенный интеграл равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри этого промежутка.
Рассмотрим теперь средние общие затраты. Среднее значение функции общих затрат TC(Q) составит
ATC(Q0,Qi) = [TC(Qi) - TC(Q0)]/(Qi - Q0) = TC▓(Qx) = MC(Qx),    (8A.5)
При всем сходстве (8А.2) и (8А.5) обратим внимание и на важное различие. Для средних общих затрат .
Остановимся на случае, когда Qx > Qi. Заметим, что, поскольку ТС = FC + VC, кривая ТС на рис. 8А.З включает и сегмент ОК ≈ FC, т.е. имеет правосторонний предел. Поэтому на дуге КА не найдется точки, касательная в которой была бы параллельна лучу ОА. Но такая точка (А1) найдется значительно правее точки А, так что в данном случае Qx > Q1. Заметим, что по мере смещения точки А вправо точка А' будет смещаться влево, пока их взаимное расположение относительно точки С, в которой ATC(Q*) = MC(Q*), не сменится на противоположное.
Эти зависимости легко проследить в табл. 8А.1, сопоставляя последовательно значения МС с AVС и АТС. В частности, можно убедиться, что
AVC(Qi) » MC(Qj),     (8А.6)
Qi > Qj для всех i, j 6;
ATC(Qi) » MC(Qj),     (8А.7)
Qi < Qj для всех i < 11, j > 11,
Qi > Qj для всех i > 11, j < 11,
Qi = Qj для i, j = 11,
Таблица 8А.1
Расчет средних и предельных затрат (руб.)

Q FC VC TC(2+3) AVC(3:1) ATC(4:1) MC∙(TCQ - TCQ-1)
1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
5
6*
7
8
9
10
11*
12
13
14
15
16
17
18
19
20
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
-
10.00
16.00
21.00
26.00
30.00
36.00
45.50
56.00
72.00
90.00
109.00
130.40
160.00
198.20
249.50
324.00
418.50
539.00
698.00
900.00
100.00
110.00
116.00
121.00
126.00
130.00
136.00
145.50
156.00
172.00
190.00
209.00
230.00
260.00
298.20
349.50
424.00
518.50
639.00
798.00
1000.00
-
10.00
8.00
7.00
6.00
6.00
6.00*
6.50
7.00
8.00
9.00
9.91
10.87
12.31
14.61
16.69
20.25
24.62
29.94
36.74
45.00
-
110.00
58.00
40.38
31.50
26.00
22.67
20.78
19.50
19.10
19.00
19.00*
19.20
20.00
21.30
23.30
26.50
30.50
35.50
42.00
50.00
-
10.00
6.00
5.00
5.00
4.00
6.00*
9.50
10.50
16.00
18.00
19.00*
21.40
29.60
38.20
51.30
74.50
94.50
120.50
159.00
202.00


Обратим также внимание на то, что среднее значение функции, или средние затраты, являются обычно фиктивной, счетной средней; они могут совпадать, а могут и не совпадать ни с одним значением предельных.1 Поэтому равенства (8А.6) и (8А.7) выполняются обычно лишь как приближенные, в том числе и для Q*.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 K средним счетным, или фиктивным, относятся те средние, значение которых не встречается в данной совокупности, тогда как реальная, или действительная, средняя соответствует хотя бы одному из ее членов. Примером фиктивной, или счетной, средней является средняя арифметическая трех чисел ≈ 1, 2, 6. Она равна 3 и не совпадает ни с одним из этих чисел (Джини К. Средние величины. М., 1970. С. 64).