Если какая-либо функция f(x) непрерывна и дифференцируема в замкнутом промежутке (а, b), то, согласно теореме Лагранжа, среднее ее значение в этом промежутке равно значению производной f'(x) в некоторой точке x, лежащей внутри данного промежутка:
[f(b) - f(a)]/(b - a) = f(x▓). (8А.1)
Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что левая часть (8А.1) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) кривой у = f(x), a правая часть есть угловой коэффициент касательной к той же кривой в точке С (x, f(x)). Теорема Лагранжа о среднем значении функции утверждает, что на кривой у = f(x) между точками А и В всегда найдется такая точка С, касательная к которой параллельна секущей АВ (рис. 8А.1).
Используем теперь теорему Лагранжа для определения средних переменных затрат. На основании (8А.1) мы можем утверждать, что средние переменные затраты при выпуске Qi, т.е. в интервале (Q0,Qi), равны предельным затратам при некотором неопределенном объеме выпуска Qx, причем Q0 ≤ Qx ≤ Q1, т. e.
AVC(Q0,Qi) = [VC(Qi) - VC(Q0)]/(Qi - Q0) = VC▓(Qx) = MC(Qx), (8A.2)
при этом Qx ≤ Qi. Как явствует из рис. 8А.2,
AVC(Q1) = MC(Q▓x) Q▓x < Q1 (OA||KK),
AVC(Q2) = MC(Q▓▓x) Q▓▓x < Q2 (OB||K▓K▓), (8A.3)
AVC(Q*) = MC(Q▓▓▓x) Q▓▓▓x = Q*.
AVC(Q2) = MC(Q▓▓x) Q▓▓x < Q2 (OB||K▓K▓), (8A.3)
AVC(Q*) = MC(Q▓▓▓x) Q▓▓▓x = Q*.
К тем же выводам можно прийти и на основе формулы конечных приращений:
VC(Q0 + DQ) - VC(Q0) = VC▓(Qx)DQ, (8А.4)
или на основе теоремы о среднем интегрального исчисления, согласно которой определенный интеграл равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри этого промежутка.
Рассмотрим теперь средние общие затраты. Среднее значение функции общих затрат TC(Q) составит
ATC(Q0,Qi) = [TC(Qi) - TC(Q0)]/(Qi - Q0) = TC▓(Qx) = MC(Qx), (8A.5)
При всем сходстве (8А.2) и (8А.5) обратим внимание и на важное различие. Для средних общих затрат .
Остановимся на случае, когда Qx > Qi. Заметим, что, поскольку ТС = FC + VC, кривая ТС на рис. 8А.З включает и сегмент ОК ≈ FC, т.е. имеет правосторонний предел. Поэтому на дуге КА не найдется точки, касательная в которой была бы параллельна лучу ОА. Но такая точка (А1) найдется значительно правее точки А, так что в данном случае Qx > Q1. Заметим, что по мере смещения точки А вправо точка А' будет смещаться влево, пока их взаимное расположение относительно точки С, в которой ATC(Q*) = MC(Q*), не сменится на противоположное.
Эти зависимости легко проследить в табл. 8А.1, сопоставляя последовательно значения МС с AVС и АТС. В частности, можно убедиться, что
AVC(Qi) » MC(Qj), (8А.6)
Qi > Qj для всех i, j ╧ 6;
Qi > Qj для всех i, j ╧ 6;
ATC(Qi) » MC(Qj), (8А.7)
Qi < Qj для всех i < 11, j > 11,
Qi > Qj для всех i > 11, j < 11,
Qi = Qj для i, j = 11,
Qi < Qj для всех i < 11, j > 11,
Qi > Qj для всех i > 11, j < 11,
Qi = Qj для i, j = 11,
Таблица 8А.1
Расчет средних и предельных затрат (руб.)
Расчет средних и предельных затрат (руб.)
Q | FC | VC | TC(2+3) | AVC(3:1) | ATC(4:1) | MC∙(TCQ - TCQ-1) |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
0 1 2 3 4 5 6* 7 8 9 10 11* 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 |
- 10.00 16.00 21.00 26.00 30.00 36.00 45.50 56.00 72.00 90.00 109.00 130.40 160.00 198.20 249.50 324.00 418.50 539.00 698.00 900.00 |
100.00 110.00 116.00 121.00 126.00 130.00 136.00 145.50 156.00 172.00 190.00 209.00 230.00 260.00 298.20 349.50 424.00 518.50 639.00 798.00 1000.00 |
- 10.00 8.00 7.00 6.00 6.00 6.00* 6.50 7.00 8.00 9.00 9.91 10.87 12.31 14.61 16.69 20.25 24.62 29.94 36.74 45.00 |
- 110.00 58.00 40.38 31.50 26.00 22.67 20.78 19.50 19.10 19.00 19.00* 19.20 20.00 21.30 23.30 26.50 30.50 35.50 42.00 50.00 |
- 10.00 6.00 5.00 5.00 4.00 6.00* 9.50 10.50 16.00 18.00 19.00* 21.40 29.60 38.20 51.30 74.50 94.50 120.50 159.00 202.00 |
Обратим также внимание на то, что среднее значение функции, или средние затраты, являются обычно фиктивной, счетной средней; они могут совпадать, а могут и не совпадать ни с одним значением предельных.1 Поэтому равенства (8А.6) и (8А.7) выполняются обычно лишь как приближенные, в том числе и для Q*.
ПРИМЕЧАНИЕ
1 K средним счетным, или фиктивным, относятся те средние, значение которых не встречается в данной совокупности, тогда как реальная, или действительная, средняя соответствует хотя бы одному из ее членов. Примером фиктивной, или счетной, средней является средняя арифметическая трех чисел ≈ 1, 2, 6. Она равна 3 и не совпадает ни с одним из этих чисел (Джини К. Средние величины. М., 1970. С. 64).